Ciąg Fibonacciego — od liczb do spirali
Odkrywaj, jak suma dwóch kolejnych wyrazów prowadzi do geometrycznej spirali, złotej proporcji i zaskakujących sum w trójkącie Pascala.
Jak powstają kolejne liczby?
Każdy wyraz od trzeciego jest sumą dwóch poprzednich. Przyjmujemy F₀ = 0, F₁ = 1.
W ciągu mogą występować dwie jedynki. Pierwszy wyraz ma indeks 0.
Budowanie spirali z kwadratów
Dokładamy kwadraty o bokach 1, 1, 2, 3, 5, 8, …. W każdym rysujemy ćwiartkę okręgu; łuki łączą się w spiralę Fibonacciego.
Ostatni kwadrat
Każdy nowy kwadrat ma bok równy sumie dwóch poprzednich.
To spirala z ćwiartek okręgów — przybliżenie spirali złotej, nie dokładna spirala logarytmiczna.
Ilorazy kolejnych liczb i złota proporcja
Obserwuj, jak Fₙ / Fₙ₋₁ zbliża się do φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034. Pierwszy określony iloraz to 1/1 (dla n=2).
Porównanie
Ilorazy zbliżają się do φ naprzemiennie od góry i od dołu. Dla małych indeksów różnice są większe.
Fibonacci ukryty w trójkącie Pascala
Dodając liczby na odpowiednich ukośnych liniach trójkąta, otrzymujemy kolejne liczby Fibonacciego.
Zaznaczone liczby mają współrzędne (wiersz, kolumna) = (n − k, k), dla k = 0, 1, …, ⌊n/2⌋. Wiersze i kolumny liczymy od zera.